電験三種 R2(2020年).機械問17 - 電験マンのブログ

[問題]
図は，ある周波数伝達関数 W(jω) のボード線図の一部であり，折れ線近似でゲイン特性を示している。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a)　図のゲイン特性を示す周波数伝達関数として，最も適切なものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(b)　図のゲイン特性を示すブロック線図として，最も適切なものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。ただし，入力を R(jω) ，出力を C(jω) として，図のゲイン特性を示しているものとする。

[解説・回答]
ボード線図から周波数伝達関数を算出する問題です。かなり難しい問題と思います。
選択問題なので問18の方を選びたいですが、、この年の選択問題は両方とも難問だったと思います。

(a)
この問題を解くには、以下のゲイン特性の公式を覚えておく必要があります。

ゲイン特性の公式： $g=20log|W(jω)|$

これを確実に覚えておくのはかなり厳しいのではと思いますが、、
本問題では、上記の公式の $W(jω)$ の部分に該当する式を求められています。
ボード線図より、角周波数 $ω=0$ のときゲイン $g=40$ となり、角周波数 $ω=200$ のときゲイン $g=0$ となる関数を選べば良いことになります。
ということで、選択肢を一つずつ見ていきます。

(1)
$g = 20log_{10}|\dfrac{40}{1+jω}| = 20log_{10}\dfrac{40}{\sqrt{1+ω^2}}$ となるので、
$g(0)=20log_{10}\dfrac{40}{\sqrt{1+0^2}}=20log_{10}40$ となり、 $g(0)=40$ とはなりませんので、誤りとなります。

(2)
$g = 20log_{10}|\dfrac{40}{1+j0.005ω}| = 20log_{10}\dfrac{40}{\sqrt{1+0.005^{2}ω^{2}}}$ となるので、
$g(0) = 20log_{10}\dfrac{40}{\sqrt{1+0^2}}=20log_{10}40$ となり、 $g(0)=40$ とはなりませんので、誤りとなります。

(3)
$g = 20log_{10}|\dfrac{100}{1+jω}| = 20log_{10}\dfrac{100}{\sqrt{1+ω^2}}$ となるので、
$g(0)=20log_{10}\dfrac{100}{\sqrt{1+0^2}}=20log_{10}100 = 40$ となります。
$g(200)=20log_{10}\dfrac{100}{\sqrt{1+200^2}}≒20log_{10}\dfrac{100}{200} = 20log_{10}\dfrac{1}{2}$ となり、 $g(200) = 0$ とはなりませんので、誤りとなります。

(4)
$g = 20log_{10}|\dfrac{100}{1+j0.005ω}| = 20log_{10}\dfrac{100}{\sqrt{1+0.005^{2}ω^{2}}}$ となるので、
$g(0) = 20log_{10}\dfrac{100}{\sqrt{1+0^2}}=20log_{10}100 = 40$ となります。
$g(200) = 20log_{10}\dfrac{100}{\sqrt{1+0.005^{2}×200^{2}}} = 20log_{10}\dfrac{100}{\sqrt{2}}$ となり、 $g(200) = 0$ とはなりませんので、誤りとなります。

(5)
$g = 20log_{10}|\dfrac{100}{1+j0.5ω}| = 20log_{10}\dfrac{100}{\sqrt{1+0.5^{2}ω^{2}}}$ となるので、
$g(0) = 20log_{10}\dfrac{100}{\sqrt{1+0^2}}=20log_{10}100 = 40$ となります。
$g(200) = 20log_{10}\dfrac{100}{\sqrt{1+0.5^{2}×200^{2}}} = 20log_{10}\dfrac{100}{\sqrt{10001}} ≒ 20log_{10}\dfrac{100}{100} = 0$ となり、ボード線図の条件に合います。

答え：（５）

(b)
この問題を解くには、ブロック線図から周波数伝達関数を求める方法覚えておく必要があります。

ブロック線図が直列のときの周波数伝達関数は以下の式になります。

　　　　　　　　　　　　　　 $Y(s) = G(s)M(s) × X(s)$

ブロック線図がフィードバックのときの周波数伝達関数は以下の式になります。

　　　　　　　　　　　 $Y(s) = \dfrac{G(s)}{1+G(s)H(s)} × X(s)$

直列とフィードバックの複合となっている場合は、以下の式になります。

　　　　　　　　　 $Y(s) = \dfrac{G(s)}{1+G(s)H(s)} × M(s)× X(s)$

以上を踏まえて、(a)の答えである $\dfrac{100}{1+j0.5ω}$ に合う、周波数伝達関数を求めます。
(1)
$C(jω)= (\dfrac{\dfrac{1}{jω}}{1+\dfrac{1}{jω}・1})×40×R(jω) = (\dfrac{\dfrac{1}{jω}}{\dfrac{1+jω}{jω}}) ×40×R(jω) = \dfrac{40}{1+jω}×R(jω)$
となり、誤りです。

(2)
$C(jω)= (\dfrac{\dfrac{1}{jω}}{1+\dfrac{1}{jω}・1})×100×R(jω) = (\dfrac{\dfrac{1}{jω}}{\dfrac{1+jω}{jω}}) ×100×R(jω) = \dfrac{100}{1+jω}×R(jω)$
となり、誤りです。

(3)
$C(jω)= (\dfrac{\dfrac{1}{j0.005ω}}{1+\dfrac{1}{j0.005ω}・1})×100×R(jω) = (\dfrac{\dfrac{1}{j0.005ω}}{\dfrac{1+j0.005ω}{j0.005ω}}) ×100×R(jω)$
$= \dfrac{100}{1+j0.005ω}×R(jω)$
となり、誤りです。

(4)
$C(jω)= (\dfrac{\dfrac{1}{jω}}{1+\dfrac{1}{jω}・2})×200×R(jω) = (\dfrac{\dfrac{1}{jω}}{\dfrac{2+jω}{jω}}) ×200×R(jω) = \dfrac{200}{2+jω}×R(jω)$
$= \dfrac{100}{1+j0.5ω}×R(jω)$
となり、選択肢(4)が正となります。

(5)
$C(jω)= (\dfrac{\dfrac{1}{jω}}{1+\dfrac{1}{jω}・0.5})×200×R(jω) = (\dfrac{\dfrac{1}{jω}}{\dfrac{0.5+jω}{jω}}) ×200×R(jω)$
$= \dfrac{200}{0.5+jω}×R(jω) = \dfrac{400}{1+j2ω}×R(jω)$
となり、誤りです。

答え：（４）