電験三種 R2(2020年).機械問15 - 電験マンのブログ

[問題]
定格出力 45 kW ，定格周波数 60 Hz ，極数 4 ，定格運転時の滑りが 0.02 である三相誘導電動機について，次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a)　この誘導電動機の定格運転時の二次入力（同期ワット）の値 [kW] として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　 43 　　(2)　 44 　　(3)　 45 　　(4)　 46 　　(5)　 47

(b)　この誘導電動機を，電源周波数 50 Hz において， 60 Hz 運転時の定格出力トルクと同じ出力トルクで連続して運転する。
この 50 Hz での運転において，滑りが 50 Hz を基準として 0.05 であるときの誘導電動機の出力の値 [kW] として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　 36 　　(2)　 38 　　(3)　 45 　　(4)　 54 　　(5)　 56

[解説・回答]
三相誘導電動機に関する計算問題です。(a)は基礎的な内容ですが、(b)は少しひねった問題です。

（a）
誘導電動機の二次入力 $P_2$ 、滑り $s$ 、定格出力 $P_0$ の関係は、
$P_2 = \dfrac{P_0}{1-s}$ で表すことが出来ます。

従って、二次入力 $P_2$ は、 $P_2 = \dfrac{45}{1-0.02} = 45.9$ [kW] となります。

答え：（４）

（b）
この問題を解くには、誘導電動機のトルク、回転数、出力の関係性を理解する必要があります。
まず、誘導電動機のトルク $T$ [N・m]、出力 $P_0$ [W] の関係は、角速度 $ω$ [rad/s]を用いて、 $P = ωT$ と表せます。
角速度 $ω$ [rad/s]と、回転数 $N$ $min^{-1}$ の関係は、 $ω = \dfrac{2πN}{60}$ となるので、誘導電動機のトルク、回転数、出力の関係を整理すると、
$P = ωT = \dfrac{2πN}{60}T$ となります。

従って、この問題で求められている誘導電動機の出力は、トルク $T$ と50Hzでの回転数 $N$ を求めることで答えを出すことが出来ます。

まずは、定格出力トルクを求めます。
問題文より 60 Hz 運転時の定格出力トルクと同じ出力トルクとなります。
60 Hz 運転時の定格出力トルクは、定格出力45kWという情報と、滑り0.02から定格速度を求めることで算出出来ます。
ここで、定格速度を求めるプロセスも2段階考える必要があります。
まず、誘導電動機の定格速度 $N$ は、同期速度 $N_s$ 、滑り $s$ を用いて、 $N = N_s(1-s)$ となります。
同期速度 $N_s$ が未知ですが、極数 $p$ と、周波数 $f$ [Hz]を用いて、 $N_s = \dfrac{120}{p}f$ （ $min^{-1}$ ）となりますので、
$N_s = \dfrac{120}{4}×60 = 1800$ （ $min^{-1}$ ）となります。
従って、定格速度 $N$ は、 $N = N_s(1-s) = 1800(1-0.02) = 1764$ （ $min^{-1}$ ）となります。
最後に、定格出力トルク $T$ は、 $T = \dfrac{P}{ω}$ より、 $T = 54 ÷ \dfrac{2π×1764}{60}$ となり、これを計算すると、 $T = 0.244$ [kN・m]となります。

これで、50Hz下でのトルクが求められましたので、次に50Hzでの回転数を求めます。
これは、上記と同じプロセスで、まず50Hz下での同期速度を求めます。
$N_s = \dfrac{120}{4}×50 = 1500$ （ $min^{-1}$ ）となります。
次に、滑り0.05から定格速度を求めます。
$N = N_s(1-s) = 1500(1-0.05) = 1425$ （ $min^{-1}$ ）となります。

最後に、 $P = ωT = \dfrac{2πN}{60}T$ の式から、出力を求めます。
$P = \dfrac{2π×1425}{60}×0.244 = 36.4$ [kW]となります。

答え：（１）