電験三種 R2(2020年).理論 問15

[問題]
図のように，線間電圧（実効値） 200 V の対称三相交流電源に， 1 台の単相電力計 ， X=4 Ω の誘導性リアクタンス 3 個， R=9 Ω の抵抗 3 個を接続した回路がある。
単相電力計 の電流コイルは a 相に接続し，電圧コイルは b－c 相間に接続され，指示は正の値を示していた。
この回路について，次の(a)及び(b)の問に答えよ。

ただし，対称三相交流電源の相順は， a ， b ， c とし，単相電力計 W1 の損失は無視できるものとする。

(a)　 R=9 Ω の抵抗に流れる電流 の実効値 [A] として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1)　 6.77
(2)　 13.3
(3)　 17.3
(4)　 23.1
(5)　 40.0

(b)　単相電力計 W1 の指示値 として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1)　 0
(2)　 2.77
(3)　 3.70
(4)　 4.80
(5)　 6.40

[解説・回答]
三相交流回路の特性、Δ-Y変換、電力計の計算方法など、複合的な知識を問われている問題です。
まずは、(a)について解説します。
問題の回路図を見ると誘導性リアクタンスXがΔ結線の外にあり、このままでは の値を求めることが出来ません。
従って、1つ目のポイントとして、回路図のΔ→Y変換が必要となります。
Δ→Y変換を行うと、下の図1の通り内部の負荷は倍となります。

倍になるということは覚えておいた方が良いですが、以下のように考えると覚えやすいです。
図1で、a→b間の抵抗値を考えると、それぞれ下の図2の通りとなります。

Δ結線の場合は、1つに2つのが並列に繋がった回路となりますので、合成抵抗値は となります。
Y結線の場合は、2つの抵抗が直列に並んでいるので、合成抵抗値はとなります。
2つの回路は等価となりますので、となります。

次に、Δ→Y変換した回路を1相分だけ取り出すと図3の通りになります。

ここで2つ目のポイントですが、問題文の200Vは線間電圧となりますので、相電圧を考える場合はで割る必要があります。
ここもしっかり覚えておきましょう。
回路のインピーダンス] となりますので、となり、]となります。

最後に3つ目のポイントですが、は線電流ですので、相電流を求めるにはで割る必要があります。
]となります。

尚、仮に誘導性リアクタンスXが無かった場合の の値を考えてみます。
この場合はΔ-Y変換をする必要が無く、相電圧200V = 線間電圧となりますので、
]となります。
従って、誘導性リアクタンスが追加されている回路では22.2[A]以下の電流値になると想定できますので、計算結果が（４）、（５）になった場合はどこかで間違えていると考えられます。
試験の際はその様に冷静に自分の答えを見直してみましょう。

答え：（２）

次に、(b)の解説です。(b)も難問ですが落ち着いて順番に考えていけば正しく回答できます。
まず、電力計の指示値Pは、P = VIcosθ[W]で表すことが出来ます。
以下でV,I,cosθそれぞれの値を求めていきます。
問題図を見ると、電流Iはa相を計測しています。a相の電流値は(a)で求めた値となりますので、23.1[A]となります。
電圧Vはb-c相を計測しています。問題文の線間電圧のことになりますので、200Vです。
問題はcosθです。a相の電流とb-c間との線間電圧の位相差を求める必要があります。
いきなり答えを出すことが難しいので、まずはa相の相電圧とa相の電流の位相差を考えます。
図3の回路図を用いてベクトル図を記載すると以下の図4の通りとなります。

a相の電流は相電圧よりも遅れが生じ、となります。

次に、線間電圧と、相電圧の位相差を考えます。
この場合もベクトル図を書いてみます。

図5で、線間電圧はとなりますので、線間電圧は相電圧から90°遅れることとなります。
a相の電流と相電圧に位相差は、となりますので、
は図4のベクトル図から、となります。

最後に、電力計の値を求めます。
] ]となります。

答え：（３）