電験三種 R2(2020年).理論問5 - 電験マンのブログ

[問題]
次に示す， A ， B ， C ， D の四種類の電線がある。いずれの電線もその長さは 1 km である。
この四つの電線の直流抵抗値をそれぞれ $R_A$ , $R_B$ , $R_C$ , $R_D$ とする。
$R_A$ ～ $R_{D}$ の大きさを比較したとき，その大きさの大きい順として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし， ρ は各導体の抵抗率とし，また，各電線は等断面，等質であるとする。

　 A ：断面積が $9×10^{-5} m^{2}$ の鉄（ $ρ=8.90× 10^{-8} Ω⋅ m^{2}$ ）でできた電線
　 B ：断面積が $5×10^{-5} m^{2}$ のアルミニウム（ $ρ=2.50×10^{-8} Ω⋅m^{2}$ ）でできた電線
　 C ：断面積が $1×10^{-5} m^{2}$ の銀（ $ρ=1.47×10^{-8} Ω⋅m^{2}$ ）でできた電線
　 D ：断面積が $2×10^{-5} m^{2}$ の銅（ $ρ=1.55×10^{-8} Ω⋅m^{2}$ ）でできた電線

(1)　 $R_A$ ＞ $R_C$ ＞ $R_D$ ＞ $R_B$
(2)　 $R_A$ ＞ $R_D$ ＞ $R_C$ ＞ $R_B$
(3)　 $R_B$ ＞ $R_D$ ＞ $R_C$ ＞ $R_A$
(4)　 $R_C$ ＞ $R_A$ ＞ $R_D$ ＞ $R_B$
(5)　 $R_D$ ＞ $R_C$ ＞ $R_A$ ＞ $R_B$

[回答・解説]
物質の抵抗率ρ[Ω⋅m]と断面積A[ $m^{2}$ ]から抵抗値[Ω]を求める問題です。
抵抗率の定義は、断面積1 $m^{2}$ 、長さ1mの導体が持つ抵抗値です。
抵抗値を求めるためには、抵抗率 x 長さ / 断面積で求めることが出来ます。

抵抗率を分子に持ってくるか分母に持ってくるか迷った場合は、以下のように単位から考えます。
抵抗[Ω]を求めるためには、抵抗率ρ[Ω⋅m] x 長さ[m] / 断面積[ $m^{2}$ ]と計算すれば良いことが分かります。
抵抗率を分母に持ってくると単位が[Ω]になりません。
また、抵抗は電流の流れにくさを表しますので、長さが大きければ高く、断面積が大きければ小さくなるというイメージを持ち、長さは分子、断面積は分母に来ると考えましょう。

問題の回答ですが、 $R_A$ ～ $R_{D}$ それぞれ抵抗値を計算します。
$R_A$ = $8.90× 10^{-8} × 1.0 × 10^{3} / 9 × 10^{-5} = 0.989 [Ω$ ]
$R_B$ = $2.50× 10^{-8} × 1.0 × 10^{3} / 5 × 10^{-5} = 0.5 [Ω$ ]
$R_C$ = $1.47× 10^{-8} × 1.0 × 10^{3} / 1 × 10^{-5} = 1.47 [Ω$ ]
$R_D$ = $1.55× 10^{-8} × 1.0 × 10^{3} / 2 × 10^{-5} = 0.775 [Ω$ ]
従って、抵抗値の大きい順に並べると、 $R_C$ ＞ $R_A$ ＞ $R_D$ ＞ $R_B$ 　となります。

答え：(4)

計算する際のテクニックとして、長さ $1.0 × 10^{3} m$ は、共通なので計算式に入れる必要は無いです。
また、抵抗率のべき乗は各選択肢のすべてが $10^{-8}$ 、断面積のべき乗はすべて $10^{-5}$ となりますので、べき乗も各選択肢共通となり計算から省けます。
例えば $R_A$ の場合、8.9 / 9だけ計算すれば良いのです。
余計な計算を省いて計算ミスを無くす工夫の紹介でした。