電験三種 R3(2021年).電力問2 - 電験マンのブログ

[問題]
図で，水圧管内を水が充満して流れている。断面 A では，内径 2.2 m ，流速 3 m/s ，圧力 24 kPa である。
このとき，断面 A との落差が 30 m ，内径 2 m の断面 B における流速 [m/s] と水圧 [kPa] の最も近い値の組合せとして，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

ただし，重力加速度は 9.8 m/s2 ，水の密度は 1 000 kg/m3 ，円周率は 3.14 とする。

[解説・回答]

水力発電所における流体のエネルギーに関する問題です。
流体力学における連続の定理と、ベルヌーイの定理の公式を覚えておかないと解けない問題です。

流速 [m/s] と水圧 [kPa] の2つの計算が必要ですので、まずは流速 [m/s] から求めます。
流速 [m/s] を求めるには、連続の定理を用います。
連続の定理は、断面Aと断面Bを通過する単位時間当たりの流量[ $m^3/s$ ]が等しくなるという定理です。
従ってまずは、断面Aを通過する単位時間当たりの流量 $Q_A$ を求めます。
断面Aの断面積 $S_A$ [ $m^2$ ]は、
$S_A=π×(\dfrac{2.2}{2})^2=3.8$ [ $m^2$ ]となり、
$Q_A=3.8×3=11.4$ [ $m^3/s$ ] となります。

次に断面Bの断面積 $S_B$ [ $m^2$ ]は、
$S_A=π×(\dfrac{2}{2})^2=3.14$ [ $m^2$ ]となります。

断面Bを通過する単位時間当たりの流量 $Q_B$ は、 $Q_A$ と等しくなりますので、
断面Bの流速 $v_B$ は、
$V_B=\dfrac{11.4}{3.14}= 3.6$ [ $m/s$ ] となります。

次に、断面Bでの水圧を求めます。
ここでは、ベルヌーイの定理を用います。
ベルヌーイの定理は、簡単に言えば流体のエネルギー保存則となり、流体の位置エネルギー+運動エネルギー+圧力は常に一定となる、という法則です。
このように書くと簡単なのですが、公式が覚えづらく、通常は水頭を用いて表します。
位置水頭(位置エネルギー) $h$ 、速度水頭(運動エネルギー) $\dfrac{v^2}{2g}$ 、圧力水頭(圧力エネルギー) $\dfrac{p}{ρg}$ とすると、
$h+\dfrac{v^2}{2g}+\dfrac{p}{ρg} = constant$ となります。

水頭についても意味を理解すれば簡単ですが、以下のようにジュール単位で書いているエネルギーを $mg$ で除して水柱の高さ(メートル単位)に直したものです。
・位置エネルギー　 $mgh$ [ $J$ ] → $h$ [ $m$ ]
・運動エネルギー　 $\dfrac{1}{2}mv^2$ [ $J$ ] → $\dfrac{v^2}{2g}$ [ $m$ ]
・圧力エネルギー　 $m \dfrac{p}{ρ}$ [ $J$ ] → $\dfrac{p}{ρg}$ [ $m$ ]

以上の式を用い、断面AとBにおけるエネルギーの総和が等しいことを利用し、断面Bでの水圧を求めます。
まず、断面Aでのエネルギーの総和は、
$h_A+\dfrac{v^2_A}{2g}+\dfrac{p_A}{ρg} = 30 + \dfrac{3^2}{2×9.8}+\dfrac{24×10^3}{1000×9.8} = 32.91$ [ $m$ ] 　となります。

次に断面Bでのエネルギーの総和は、
$h_B+\dfrac{v^2_B}{2g}+\dfrac{p_B}{ρg} = 0+ \dfrac{3.6^2}{2×9.8} +\dfrac{P_B}{1000×9.8} = 0.66 + \dfrac{P_B}{1000×9.8} = 32.91$ となります。
これを解くと、 $P_B = 316050$ [Pa] = $316$ [kPa]となります。

答え：(3)